Probability

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By Erkus E., Duman O.

During this paper, utilizing the concept that ofA-statistical convergence that's a regular(non-matrix) summability technique, we receive a basic Korovkin kind approximation theorem which issues the matter of approximating a functionality f by way of a series {Lnf } of confident linear operators.

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Example text

K=1 1 An n (Ak − Ak−1 ) ηk−1 . k=1 Le premier terme tend clairement vers 0. Pour le deuxième, on se donne un N tel que pour k ≥ N, |ηk | ≤ . On a alors : 1 An n (Ak − Ak−1 ) ηk−1 k=1 1 ≤ An N > 0, et l’on choisit n (Ak − Ak−1 ) |ηk−1 | + k=1 An (Ak − Ak−1 ) . k=N+1 On a donc, pour n ≥ N 1 An n (Ak − Ak−1 ) ηk−1 ≤ k=1 CN + . An Ce qui permet de conclure en remarquant que limn→+∞ An = +∞. Démonstration : On peut se ramener sans perte de généralité au cas x∗ = 0 par une translation. Nous ne traiterons donc que ce cas.

Dans ce qui suit toutes les variables aléatoires considérées sont supposées intégrables. 1. Linéarité : E(λX + µY|B) = λE(X|B) + µE(Y|B). 2. Positivité : Si X ≥ 0, alors E(X|B) ≥ 0. Si X ≥ Y, alors E(X|B) ≥ E(Y|B). 3. Si X est intégrable et B-mesurable alors : E (X|B) = X. 4. Si Z est une variable aléatoire B-mesurable et bornée : E(ZX|B) = ZE(X|B). 5. E (E (X|B)) = E(X). Soit C une sous tribu de B alors : E (E(X|B)|C) = E(X|C). 6. Si X est indépendante de la tribu B (c’est à dire indépendante de toutes la variables aléatoires B-mesurables) : E (X|B) = E(X).

Montrer que (Mn , n ≥ 0) est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi. On admettra dans la suite de cet exercice que E(|M1 |) < +∞. 4. Montrer que, pour tout >0 P (M1 ≥ n) ≤ P (Mn ≥ n) = 1 E(|M1 |). n≥1 n≥1 En utilisant le fait que E(|M1 |) < +∞ et le lemme de Borel-Cantelli en déduire que, presque sûrement, limn→+∞ Mn /n = 0. 5. Montrez que pour n ≤ t < n + 1, on a Bt Bn |Bn | Mn − ≤ + . t n n(n + 1) n En déduire que presque sûrement lim Bt /t = 0. t→∞ Exercice 26 Soit 0 ≤ a < b < ∞ fixés.

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